Question

若函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域的每一個(gè)值x₁，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．給出以下命題：
①y=

1

x2

是“依賴函數(shù)”；
②y=

2

+sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]是“依賴函數(shù)”；
③y=2^x是“依賴函數(shù)”；④y=lnx是“依賴函數(shù)”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“依賴函數(shù)”，且定義域相同，則y=f（x）．g（x）是“依賴函數(shù)”．
其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：理解“依賴函數(shù)”的定義，注意關(guān)鍵詞：①定義域的每一個(gè)值x₁，②都存在唯一的x₂，③f（x₁）f（x₂）=1．逐一驗(yàn)證5個(gè)結(jié)論，可得答案．

解答： 解：在①中，若x₁=2，則f(x1)=

1

x 2 1

=

1

4

．
此時(shí)f（x₁）f（x₂）=1可得f（x₂）=4，x₂=±2，不唯一，所以命題①錯(cuò)誤．
在②③中，兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)的，且函數(shù)值中沒有零，每取一個(gè)x₁，方程f（x₁）f（x₂）=1都有唯一的x₂值，所以都是真命題．
在④中，y=lnx當(dāng)x₁=1時(shí)，f（x₁）=0此時(shí)f（x₁）f（x₂）=1無解，所以是假命題．
在⑤中，如果f（x）g（x）=1，則任意x₁，都對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)x₂，所以命題⑤也是假命題．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題是給出定義，直接應(yīng)用的新題，要抓住關(guān)鍵詞，是解答此類問題的關(guān)鍵．