【題目】平面直角坐標(biāo)系中,縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點。請設(shè)計一種方法將所有的整點染色,每一個整點染成白色、紅色或黑色中的一種顏色,使得
(1)每一種顏色的點出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上;
(2)對于任意白點、紅點及黑點,總可以找到一個紅點,使為一平行四邊形。證明你設(shè)計的方法符合上述要求。
【答案】見解析
【解析】
我們可將整點按以下方法染色:
當(dāng)是偶數(shù)時,染紅色;
當(dāng)為奇數(shù)時而為偶數(shù)時,染白色
當(dāng)為偶數(shù)而為奇數(shù)時,染黑色.
這樣染色顯然符合要求(1)
以下證明這樣的染色方法也符合要求,(2).
設(shè)點為白色,點為紅色,點為黑色.
我們先證明不共線.事實上,與的奇偶性不同,與都是奇數(shù),從而.
因是奇數(shù),故;,若
則這三點不共線.
若,則
,故這三點仍不共線
因此,在任何情況下A,B,C不共線.
再取點,其中
.
顯然D為整點,且因AC和BD的中點都是
所以四邊形ABCD為平行四邊形.
又因是偶數(shù),故點D恰為紅色點,即這樣的染色方法也滿足要求(2).
解二:用拉丁字母表偶數(shù);希臘字母 表奇數(shù).
凡縱、橫坐標(biāo)均為偶數(shù)的整點,即整點,…染成白色;縱、橫坐標(biāo)均為奇數(shù)的整點,即整點,…染成黑色;其余整點染成紅色.
這樣的染色方法,顯然符合要求(1).
以下證明這樣的染色方法也符合要求(2).
設(shè)白點A為,黑點C為,紅點B為或首先,當(dāng)B的坐標(biāo)為時, 不共線這是因為
其次,線段AC的中點的坐標(biāo)為,
取整點,由于為奇數(shù), 為偶數(shù),故D為紅點,且線段的中點也是M,即相互平分,故四邊形是一個平行四邊形,而是這個平行四邊形的四個頂點,
當(dāng)B的坐標(biāo)為時,同理可證結(jié)論成立.
說明:此題的第(2)條應(yīng)加上“不包括蛻化的平行四邊形”的條件.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中.
(Ⅰ) 判斷函數(shù)在上的單調(diào)性;
(Ⅱ) 設(shè)函數(shù)的定義域為,且有極值點.
(ⅰ) 試判斷當(dāng)時, 是否滿足題目的條件,并說明理由;
(ⅱ) 設(shè)函數(shù)的極小值點為,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,過點的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線相交于,兩點.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年.在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵,陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖,在塹堵中,.
(1)求證:四棱錐為陽馬;并判斷四面體是否為鱉臑,若是,請寫出各個面的直角(要求寫出結(jié)論).
(2)若,當(dāng)陽馬體積最大時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個判斷正確的是______(寫出所有正確判斷的序號.)
①函數(shù)是奇函數(shù),但不是偶函數(shù);
②函數(shù)與函數(shù)表示同一個函數(shù);
③已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為,則的值為;
④設(shè)函數(shù),若關(guān)于的方程有四個不同的解,且,則的值為.
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