【題目】如圖,在矩形ABCD和矩形ABEF中,,,矩形ABEF可沿AB任意翻折.

1)求證:當(dāng)點(diǎn)F,AD不共線時(shí),線段MN總平行于平面ADF.

2)“不管怎樣翻折矩形ABEF,線段MN總與線段FD平行”這個(gè)結(jié)論正確嗎?如果正確,請(qǐng)證明;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明能否改變個(gè)別已知條件使上述結(jié)論成立,并給出理由.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)這個(gè)結(jié)論不正確.要使上述結(jié)論成立,M,N應(yīng)分別為AEDB的中點(diǎn),理由見(jiàn)解析

【解析】

1)在平面圖形中,連接MNAB交于點(diǎn)G,在平面圖形中可證,當(dāng)點(diǎn)FA,D不共線時(shí),,可證平面ADF,平面ADF,從而有平面平面ADF,即可證明結(jié)論;

2)這個(gè)結(jié)論不正確.要使上述結(jié)論成立,MN應(yīng)分別為AEDB的中點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)F,A,D共線時(shí),由(1)得;當(dāng)點(diǎn)F,AD不共線時(shí),平面平面FDA,則要使,滿足FDAN共面,只要FMDN相交即可,可證交點(diǎn)只能為點(diǎn)B,得出只有MN分別為AE,DB的中點(diǎn)才滿足.

1)證明:在平面圖形中,連接MN,與AB交于點(diǎn)G.

∵四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形,

,

∴四邊形ADBE是平行四邊形,∴.

,∴四邊形ADNM是平行四邊形,∴.

當(dāng)點(diǎn)F,AD不共線時(shí),如圖,,

平面,平面,所以平面ADF

同理平面ADF,又,

平面,∴平面平面ADF.

平面GNM,∴平面ADF.

故當(dāng)點(diǎn)F,AD不共線時(shí),線段MN總平行于平面FA D.

2)解:這個(gè)結(jié)論不正確.

要使上述結(jié)論成立,M,N應(yīng)分別為AEDB的中點(diǎn).理由如下:

當(dāng)點(diǎn)FA,D共線時(shí),由(1)得.

當(dāng)點(diǎn)F,A,D不共線時(shí),如圖,

由(1)知平面平面FDA,則要使總成立,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,只要FD共面即可.

若要使FD共面,連接FM,只要FMDN相交即可,

平面ABEF,平面ABCD,

平面平面

∴若FMDN相交,則交點(diǎn)只能為點(diǎn)B,

由于四邊形為平行四邊形,的交點(diǎn)的中點(diǎn),

則只有M,N分別為AEDB的中點(diǎn)才滿足.

,

可知它們確定一個(gè)平面,即F,DN,M四點(diǎn)共面.

∵平面平面,

平面平面

平面平面FDA,∴.

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