Question

【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸x（mm）之間近似滿足關(guān)系式（b、c為大于0的常數(shù)）．按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品．現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

尺寸x（mm）	38	48	58	68	78	88
質(zhì)量y (g)	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
質(zhì)量與尺寸的比	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

（Ⅰ）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量的分布列和期望；

（Ⅱ）根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（ⅰ）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程；

（ⅱ）已知優(yōu)等品的收益（單位：千元）與的關(guān)系為，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸x為何值時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大？（精確到0.1）

附：對(duì)于樣本 ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），x=72.3

【解析】

由題意，首先確定的取值，然后求解相應(yīng)的分布列和數(shù)學(xué)期望即可

結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)計(jì)算回歸方程即可

結(jié)合計(jì)算求得的回歸方程得到收益函數(shù)，討論函數(shù)的最值即可求得最終結(jié)果

（1）解：由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，即

則隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品

現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)

， ，

，

的分布列為

（2）解：對(duì)（）兩邊取自然對(duì)數(shù)得，

令，得，且，

（�。└鶕�(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有，

-

，得，故

所求y關(guān)于x的回歸方程為

（ⅱ）由（ⅰ）可知，，則

由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比，即 令，

當(dāng)時(shí)，取最大值 -

即優(yōu)等品的尺寸（mm），收益的預(yù)報(bào)值最大.