Question

在區(qū)間[

1

2

，2]上，函數(shù)f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R）與g（x）=

x2+x+1

x

在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那么f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用基本不等式求得函數(shù)f（x）的最小值，及此時(shí)x的值，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列方程求得b和c，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值．

解答： 解：g（x）=x+

1

x

+1≥3，當(dāng)x=1時(shí)取得最小值，
∴對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值3，
∴

- b 2 =1 1+b+c=3

，求得b=-2，c=4，
∴f（x）=x²-2x+4，
函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，開口向上，
∴在區(qū)間[

1

2

，2]上，函數(shù)的最大值為f（2）=4，
故答案為；4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)．對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)位置，應(yīng)能熟練應(yīng)用．