Question

如圖所示，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，△ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)．

(1)證明：DF//平面ABC；

(2)求AB與平面BDF所成角的大小．

Answer 1

解：（1）證明：如圖所示，取AB的中點(diǎn)G，連接CG,GF，則GF//BE，且GF=BE，

    ∵GF//CD,且GF=CD．

    ∴四邊形FGCD是平行四邊形．

    ∴DF//CG．

    又CG平面ABC，DF平面ABC，

    ∴DF//平面ABC．

    (2)解法一：設(shè)A到平面BDF的距離為h，

    由，得．

    在△BDF中，BF=，BD=DF=，

    ∴S_△ABF=，又S_△ABF=S_△ABE=1，且CB=2．∴．

    又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則

故AB與平面BDF所成的角大小為arcsin．

解法二：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線(xiàn)分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)，F(xiàn)(1，0，1)．

，=(1，一2，0)．

    設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n=(2，，b)，

    ∵n⊥，n⊥，

    ∴，即

    解得．∴

    又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法線(xiàn)n與所成的角為，

    ∴cos()=

               =

    即sin=，故AB與平面BDF所成的角大小為arcsin．