已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．
（1）由題意，2a=4，e=
c
a
=
3
2
，∴a=2，c=
3

∴b=
a2-c2
=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1；
（2）顯然直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
直線代入橢圓方程，消去y可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
∵△=（16k）2-4×12×（1+4k2）＞0，∴k＜-
3
2
或k＞
3
2

x1+x2=-
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2

∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
4-4k2
1+4k2

由于∠AOB為銳角，x1x2+y1y2＞0，∴
12
1+4k2
+
4-4k2
1+4k2
＞0
∴2＜k＜2
∴直線L的斜率的取值范圍是（-2，-
3
2
）∪（
3
2
，2）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，其中一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點(diǎn)．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，C是直線L1：y=mx+6上任一點(diǎn)（A、B、C三點(diǎn)不共線）試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求拋物線的方程；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)P到左右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2
2
，離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)M(0，
3
7
)滿足|MA|=|MB|，求直線l的斜率k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
2
+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，⊙M是以PF2為直徑的圓．
（Ⅰ）當(dāng)⊙M的面積為
π
8
時(shí)，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)⊙M與直線AF1相切時(shí)，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個(gè)定圓相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=1，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是C，若虛數(shù)滿足u+
1
u
∈R，求|u|的值，并判斷虛數(shù)u所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與C的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓C1：x2+y2=
4
5
，直線l：y=x+m（m＞0）與圓C1相切，且交橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)于A1，B1兩點(diǎn)，c是橢圓C2的半焦距，c=
3
b．
（1）求m的值；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
OA1
⊥
OB1
，求橢圓C2的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)橢圓C2的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，動(dòng)點(diǎn)S（x1，y1）∈C2（y1＞0）直線AS，BS與直線x=
34
15
分別交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線Σ1：y=
1
4
x2的焦點(diǎn)F在橢圓Σ2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直線l與拋物線Σ1相切于點(diǎn)P（2，1），并經(jīng)過(guò)橢圓Σ2的焦點(diǎn)F2．
（1）求橢圓Σ2的方程；
（2）設(shè)橢圓Σ2的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1，試判斷直線FF1與l的位置關(guān)系．若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若平行，求兩直線之間的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝3∶2，則△ACD與△CBD的相似比為(　　)
A．2∶3 B．3∶2C．9∶4D．∶3

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同步練習(xí)冊(cè)答案