已知對于自然數(shù)a，存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a≥5．

證明：設(shè)二次三項式為：f（x）=a（x-x1）（x-x2），a∈N．
依題意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有
f（0）＞0，f（1）＞0．
又f（x）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2為整系數(shù)二次三項式，
所以f（0）=ax1x2，f（1）=a•（1-x1）（1-x2）為正整數(shù)
故f（0）≥1，f（1）≥1．
從而f（0）•f（1）≥1．①
另一方面，
x1（1-x1），x2（1-x2）
且由x1≠x2知等號不同時成立，所以
x1（1-x1）
a2x1（1-x1）x2（1-x2）
由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．
分析：設(shè)出二次函數(shù)的零點式，抓住整系數(shù)多項式，各系數(shù)都是整數(shù)，結(jié)合f（0）≥1，f（1）≥1，利用不等式化簡變形即可．
點評：本題考查二次函數(shù)的證明問題以及不等式的簡單應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活運用“整數(shù)系數(shù)”限制范圍，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知對于自然數(shù)a，存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a≥5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：專項題 題型：解答題

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c及一次函數(shù)g（x）=-bx。
（1）若a＞b＞c，a+b+c=0，設(shè)f（x）與g（x）兩圖像交于A，B兩點，當(dāng)線段AB在x軸上射影為A1B1時，試求|A1B1|的取值范圍；
（2）對于自然數(shù)a，存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式f（x），使f（x）=0有兩個小于1的不等正根，求a的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

吉林省四市統(tǒng)一考試暨沈陽市2011屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（二）（數(shù)學(xué) 
         																			
         																				  																				 																					
         																						  
        （本小題滿分12分）
          
         已知．
          
        （Ⅰ）已知對于給定區(qū)間，存在使得成立，求證：唯一；
          
        （Ⅱ）若，當(dāng)時，比較和大小，并說明理由； 
          
        （Ⅲ）設(shè)A、B、C是函數(shù)圖象上三個不同的點，
          
         求證：△ABC是鈍角三角形．
        

			
        

			
        
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第119-122課時）： 不等式問題的題型與方法（解析版）
				題型：解答題
			
        

						
        已知對于自然數(shù)a，存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a≥5．
        

			
        

			
        
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