分析 (1)①由正弦定理可得:√3sinA=√2sin45°,a>b,A為銳角或鈍角,兩解.
②BC=√3,AC=√2,A=60°,由正弦定理可得:√3sin60°=√2sinB,由a>b,B為銳角.
綜上可得:已知a>b,A為銳角,則B為銳角.已知a>b,B為銳角,對(duì)b與asinB分類討論即可得出.
(2)由正弦定理可得:3acosA=ccosB+bcosC,由正弦定理可得:3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sinA,即可得出.
(3)由sinC=2√3sinB,利用正弦定理可得:c=2√3b,又a2-b2=√3bc,可得a=√7b.再利用余弦定理即可得出.
(4)由a+a=6cosC,可得a2+b2=6abcosC,a2+b2=32c2,變形tanCtanA+tanCtanB=sinCsinCcosCsinAsinB=c2abcosC,代入即可得出.
解答 解:(1)①由正弦定理可得:√3sinA=√2sin45°,可得sinA=√32,∵a>b,∴A=60°或120°.
②BC=√3,AC=√2,A=60°,由正弦定理可得:√3sin60°=√2sinB,解得sinB=√22,∵a>b,∴B=45°.
綜上可得:已知a>b,A為銳角,則B為銳角.
已知a>b,B為銳角,b<asinB時(shí),無(wú)解;b=asinB時(shí),A=90°;asinB<b<a時(shí),A有兩解.
(2)由正弦定理可得:3acosA=ccosB+bcosC,由正弦定理可得:3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,
∵sinA≠0,∴cosA=13,∴A=arccos13.
(3)∵sinC=2√3sinB,由正弦定理可得:c=2√3b,又a2-b2=√3bc,∴a2=b2+6b2=7b2,即a=√7b.
∴cosA=2+c2−a22bc=2+122−722b×2√3b=√32,又A∈(0,π),∴A=\frac{π}{6}.
(4)∵\frac{a}+\frac{a}=6cosC,∴a2+b2=6abcosC,b2+a2=6ab×\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab},可得a2+b2=\frac{3}{2}{c}^{2},
∴\frac{tanC}{tanA}+\frac{tanC}{tanB}=tanC•\frac{cosAsinB+cosBsinA}{sinAsinA}=\frac{sinC•sin(A+B)}{cosCsinAsinB}=\frac{sinCsinC}{cosCsinAsinB}=\frac{{c}^{2}}{abcosC}=\frac{\frac{2({a}^{2}+^{2})}{3}}{\frac{{a}^{2}+^{2}}{6}}=4.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 直角三角形 | B. | 等腰三角形 | C. | 銳角三角形 | D. | 鈍角三角形 |
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A. | \sqrt{2}和1 | B. | \sqrt{3}和\frac{3}{2} | C. | \sqrt{2}和\frac{3}{2} | D. | 2和1 |
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