分析 分情況討論a不同取值時函數(shù)u(x)=√x-ax-b在[0,4]上的范圍,從而確定f(x)的最大值,將對任意實(shí)數(shù)a,b,總存在實(shí)數(shù)x0∈[0,4]使得不等式f(x0)≥m成立,轉(zhuǎn)化為m≤m≤f(x)max恒成立,即可解決.
解答 設(shè)f(x)的最大值為M(b),
令u(x)=√x-ax-b,則u′(x)=12√x-a
在x∈[0,4]上,
當(dāng)u′(x)≥0,即a≤14時,u(x)單調(diào)遞增,
此時-b≤u(x)≤2-4a-b,
當(dāng)b≤1-2a時,M(b)=2-4a-b,當(dāng)b>1-2a時,M(b)=b,
從而當(dāng)a≤14時,b=1-2a時M(b)取最小值,M(b)min=1-2a≥12,
當(dāng)a>14時,u(x)在[0,14a2)上單調(diào)遞增,在[14a2,4]上單調(diào)遞減,
在a∈[14,12]時,-b≤u(x)≤14a-b,當(dāng)b=18a時,M(b)min=18a≥14,
在a∈(12,+∞)時,2-4a-b≤u(x)≤14a-b,當(dāng)b=1-2a+18a時,M(b)min=2a+18a-1>14,
綜上所述,M(b)min=14,
對任意實(shí)數(shù)a,b,總存在實(shí)數(shù)x0∈[0,4]使得不等式f(x0)≥m成立等價于m≤f(x)max恒成立,
∴m≤14.
點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性,最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,和存在性問題的轉(zhuǎn)化,屬于壓軸題,難題.
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