Question

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和；且Sn =" 2" an -2（n∈N*）；
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且bn= （n∈N*）；
求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有Tn ＜2；
（3）在正數(shù)數(shù)列{cn}中，設(shè) (cn) n+1 = an+1（n∈N*）；求數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)。

Answer 1

（1）因?yàn)镾n=2an-2（n∈N*），所以Sn-1=2an-1-2（n≥2，n∈N*）。
二式相減得：an="2" an-2an-1（n≥2，n∈N*），
因?yàn)閍n≠0，所以=2（n≥2，n∈N*），
即數(shù)列{ an}是等比數(shù)列，
又因?yàn)閍1=S1，所以a1="2" a1-2，即a1=2，所以an=2n（n∈N*）（4分）
（2）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有bn==，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=++……+≤1+++……+=1+1-+-+……+-=2-＜2；
當(dāng)n=1時(shí)，T1=1＜2仍成立；
所以，對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有Tn ＜2。（8分）
（3）解：由(cn)n+1=an+1=n+1（n∈N*）
知：lncn=。令f（x）=，
則f′（x）=，因?yàn)樵趨^(qū)間（0，e）上，f′（x）＞0，在區(qū)間（e，+∞）上，f′（x）＜0，
所以在區(qū)間（e，+∞）上f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，所以n≥3且n∈N*時(shí)，{lncn}是遞減數(shù)列，
又lnc1＜ lnc2  lnc3＜ lnc2，
所以，數(shù)列{lncn}中的最大項(xiàng)為lnc2=ln3，所以{cn}中的最大項(xiàng)為c2=。（12分）

解析