Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）若直線為曲線的切線，求證：直線與曲線不可能有2個切點.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）首先確定函數定義域和導函數；令，得到；當時，，得到函數單調遞增；當時，分為兩根都小于零和都大于零兩種情況，根據導函數的符號得到原函數的單調區(qū)間；（2）采用反證法，假設可能有個切點；分別列出在兩個切點的切線方程，根據方程相同可建立方程組，整理可得；令，構造函數，可利用導數求得，等式不成立，從而得到假設錯誤，證得結論.

（1）由題意得：定義域為，

令，則

若，則，則，

函數在上單調遞增；

若或，有兩個零點，，則

其中，；

若，則，，此時

故函數在上單調遞增；

若，則，

此時當和時，，當時，

函數在和上單調遞增，在上單調遞減

綜上所述：當時，函數的單調遞增區(qū)間為；

當時，單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為

（2）假設存在一條直線與函數的圖象有兩個不同切點，

不妨令

則處切線的方程為：

處切線的方程為：

為同一直線

即，整理得：

消去得：…①

令，由與得：

記，則

為上的單調減函數

從而①式不可能成立，即假設不成立

若直線為曲線的切線，則直線與曲線不可能有個切點