Question

觀察下列幾個(gè)三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan5°tan100°+tan100°tan（-15°）+tan（-15°）tan5°=1；
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意義，你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為

當(dāng)α+β+γ=90°時(shí)，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1

．試證明結(jié)論．

Answer 1

分析：觀察所給的4個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)左邊都是兩個(gè)角的正切的乘積形式，一共有三項(xiàng)，且三個(gè)角的和為定值：直角，右邊的值都為常數(shù)1，由此可得結(jié)論，再利用和角的正切公式進(jìn)行證明即可．

解答：解：觀察所給的4個(gè)等式可得：
若角α，β，γ滿足α+β+γ=90°，且tanα，tanβ，tanγ都有意義，則tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1．
證明如下：∵α+β+γ=90°，∴α+β=90°-γ
∴tan（α+β）=tan（90°-γ）
∴

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1

tanγ

∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1
故答案為：當(dāng)α+β+γ=90°時(shí)，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．