分析 (1)由已知曲線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)A(0,-1),且曲線(xiàn)C1所在的圓錐曲線(xiàn)的離心率為√32,可確定相應(yīng)幾何量,從而可得曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2的方程;
(2)①將直線(xiàn)AB,AC的方程分別與橢圓、圓聯(lián)立,進(jìn)而可求點(diǎn)B,C的坐標(biāo),從而可得直線(xiàn)BC的方程,進(jìn)而可知過(guò)定點(diǎn),
②由|→BC|•|→BE|=|→BC•→BE|,再|(zhì)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積和基本不等式即可求出.
解答 解:(1)由已知得r2=1,b2=1,
又e=ca=√a2−1a=√32,解得a2=4,
∴曲線(xiàn)C1的方程為x24+y2=1,(x≥0),
曲線(xiàn)C2的方程為x2+y2=1,(x≥0).
(2)①將y=k1x-1代入x24+y2=1,得(1+4k12)x2-8k1x=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1=0,x2=8k11+4k12,
∴B(8k11+4k12,4k12−11+4k12),
將y=k2x-1代入x2+y2=1,得(1+k22)x2-2k2x=0,
設(shè)C(x3,y3),則x3=2k2k22+1,y3=k2x3-1=k22−1k22+1,
∴C(2k2k22+1,k22−1k22+1),
∵k2=4k1,∴C(8k116k12+1,16k12−116k12+1),
∴直線(xiàn)BC的斜率kBC=-14k1,
∴直線(xiàn)BC的方程為:y-4k12−11+4k12=-14k1(x-8k11+4k12),
即y=-14k1x+1,
∴直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)(0,1).
②∵→BC=(8k116k12+1-8k11+4k12,16k12−116k12+1-4k12−11+4k12),
→BE=(-8k11+4k12,1-4k12−11+4k12)=(-8k11+4k12,21+4k21),
∴|→BC|•|→BE|=|→BC•→BE|=|−64k21(1+4k21)(1+16k21)+64k21(1+4k21)2+32k21−2(1+4k21)•(1+16k21)-2k21−2(1+4k21)2|
=|-2+8k21(1+4k21)2+62k21+2(1+4k21)2|
=54k211+8k21+16k41,
=541k21+16k21+8≤548+8=278,當(dāng)k1=±2時(shí)取等號(hào)
故|→BC|•|→BE|的最大值278
點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)軌跡方程的求解,考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),以及向量的數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式,解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)B、C的坐標(biāo),求出直線(xiàn)BC的方程是,屬于難題.
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A. | (-2,\left.{-\frac{1}{3}}] | B. | (-2,\left.{\frac{1}{2}}] | C. | (-\frac{1}{3},\left.{\frac{1}{2}}] | D. | (-1,\left.{\frac{1}{2}}] |
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A. | 是三段論推理,但大前提錯(cuò) | B. | 是三段論推理,但小前提錯(cuò) | ||
C. | 不是三段論推理,但結(jié)論正確 | D. | 不是三段論推理,且結(jié)論不正確 |
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