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6.已知曲線(xiàn)C1x2a2+y22=1(a>b>0,x≥0)和曲線(xiàn)C2:x2+y2=r2(x≥0)都過(guò)點(diǎn)A(0,-1),且曲線(xiàn)C1所在的圓錐曲線(xiàn)的離心率為32
(1)求曲線(xiàn)C1,C2的方程
(2)設(shè)點(diǎn)B,C分別在曲線(xiàn)C1,C2上,k1,k2分別為直線(xiàn)AB,AC的斜率,當(dāng)k2=4k1時(shí),
①直線(xiàn)BC是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由
②設(shè)E(0,1),求|BC|•|BE|的最大值.

分析 (1)由已知曲線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)A(0,-1),且曲線(xiàn)C1所在的圓錐曲線(xiàn)的離心率為32,可確定相應(yīng)幾何量,從而可得曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2的方程;
(2)①將直線(xiàn)AB,AC的方程分別與橢圓、圓聯(lián)立,進(jìn)而可求點(diǎn)B,C的坐標(biāo),從而可得直線(xiàn)BC的方程,進(jìn)而可知過(guò)定點(diǎn),
②由|BC|•|BE|=|BCBE|,再|(zhì)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積和基本不等式即可求出.

解答 解:(1)由已知得r2=1,b2=1,
又e=ca=a21a=32,解得a2=4,
∴曲線(xiàn)C1的方程為x24+y2=1,(x≥0),
曲線(xiàn)C2的方程為x2+y2=1,(x≥0).
(2)①將y=k1x-1代入x24+y2=1,得(1+4k12)x2-8k1x=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1=0,x2=8k11+4k12
∴B(8k11+4k12,4k1211+4k12),
將y=k2x-1代入x2+y2=1,得(1+k22)x2-2k2x=0,
設(shè)C(x3,y3),則x3=2k2k22+1,y3=k2x3-1=k221k22+1,
∴C(2k2k22+1,k221k22+1),
∵k2=4k1,∴C(8k116k12+116k12116k12+1),
∴直線(xiàn)BC的斜率kBC=-14k1
∴直線(xiàn)BC的方程為:y-4k1211+4k12=-14k1(x-8k11+4k12),
即y=-14k1x+1,
∴直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)(0,1).
②∵BC=(8k116k12+1-8k11+4k12,16k12116k12+1-4k1211+4k12),
BE=(-8k11+4k12,1-4k1211+4k12)=(-8k11+4k1221+4k21),
∴|BC|•|BE|=|BCBE|=|64k211+4k211+16k21+64k211+4k212+32k2121+4k211+16k21-2k2121+4k212|
=|-2+8k211+4k212+62k21+21+4k212|
=54k211+8k21+16k41
=541k21+16k21+8548+8=278,當(dāng)k1=±2時(shí)取等號(hào)
故|BC|•|BE|的最大值278

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)軌跡方程的求解,考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),以及向量的數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式,解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)B、C的坐標(biāo),求出直線(xiàn)BC的方程是,屬于難題.

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