Question

已知在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為直角梯形，且滿足AD⊥AB，BC∥AD，AD=16，AB=8，BB₁=8，E，F(xiàn)分別是線段A₁A，BC上的點．
（1）若A₁E=5，BF=10，求證：BE∥平面A₁FD．
（2）若BD⊥A₁F，求三棱錐A₁AB₁F的體積．

Answer 1

證明：（1）過E作EG∥AD交A₁D于G，連接GF．
∵=，∴=，∴EG=10=BF．
∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．
∴四邊形BFGE是平行四邊形．
∴BE∥FG．（4分）
又FG?平面A₁FD，BE?平面A₁FD，
∴BE∥平面A₁FD．（6分）
（2）∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
由已知，BD⊥A₁F，AA₁∩A₁F=A₁，
∴BD⊥平面A₁AF．
∴BD⊥AF．（8分）
∵梯形ABCD為直角梯形，且滿足AD⊥AB，BC∥AD，
∴在Rt△BAD中，tan∠ABD==2．
在Rt△ABF中，tan∠BAF==．
∵BD⊥AF，∴∠ABD+∠BAF=，
∴=，BF=4．（10分）
∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，∴平面AA₁B₁B⊥平面ABCD，
又平面ABCD∩平面AA₁B₁B=AB，∠ABF=90°，
∴FB⊥平面AA₁B₁B，即BF為三棱錐FA₁B₁A的高．（12分）
∵∠AA₁B₁=90°，AA₁=BB₁=8，A₁B₁=AB=8，
∴S△AA₁B₁=32．
∴V_{三棱錐A1AB1F}=V_{三棱錐FA1B1A}=×S_△AA1B1×BF=．（14分）
分析：（1）欲證BE∥平面A₁FD，只需證平面A₁FD外一直線與平面A₁FD內(nèi)一直線平行，過E作EG∥AD交A₁D于G，連接GF，根據(jù)比例關(guān)系可證得四邊形BFGE是平行四邊形，則BE∥FG，又FG?平面A₁FD，BE?平面A₁FD，滿足定理所需條件；
（2）先證明FB⊥平面AA₁B₁B，從而BF為三棱錐FA₁B₁A的高，然后根據(jù)V_{三棱錐A1AB1F}=V_{三棱錐FA1B1A}=×S_△AA1B1×BF進行求解即可．
點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及錐體體積的計算，同時考查了推理論證的能力，屬于中檔題．