Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若a=1，求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在g（x）=$\frac{2}{3}$x³的圖象下方．

Answer 1

分析 本題屬導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單綜合題；（1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用f'（x）＞0與f'（x）＜0來(lái)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)h（x）在區(qū)間上的最大值h（1）＜0，從而得證．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
當(dāng)a=-1時(shí)，f'（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上遞增；
所以，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）證明：f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+lnx$ 
令h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+lnx-$\frac{2}{3}{x}^{3}（x≥1）$
h'（x）=x+$\frac{1}{x}-2{x}^{2}$=-$\frac{（x-1）（2{x}^{2}+x+1）}{x}≤0$在[1，+∞）上恒成立，
∴h（x） 在區(qū)間[1，+∞）上遞減，
∴h（x）≤h（1）=-$\frac{1}{6}＜0$
∴在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在g（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$的圖象下方．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)數(shù)綜合題中的應(yīng)用，屬中檔題．