Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，有f（x）+f（-x）=2x²，當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，f′（x）+1＜2x．若f（2+m）-f（-m）≤2m+2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x²+x，由g（-x）+g（x）=0，可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在R上是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：∵f′（x）+1＜2x，
∴f'（x）-2x+1＜0，
令g（x）=f（x）-x²+x
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-x²-x+f（x）-x²+x=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（-∞，0]時(shí)，g′（x）=f′（x）-2x+1＜0，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上也減函數(shù)，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是減函數(shù)，
∵f（2+m）-f（-m）≤2m+2，等價(jià)于f（2+m）-（2+m）²+m+2≤f（-m）-m²-m，
即g（2+m）≤g（-m），
∴2+m≥-m，解得m≥-1，
故答案為：[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．