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10.已知雙曲線 Cx2a2y2b2=1a0b0的右焦點為F,雙曲線C與過原點的直線相交于A、B兩點,連接AF,BF.若|AF|=6,|BF|=8,cosBAF=35,則該雙曲線的離心率為5.

分析 在△AFB中,由余弦定理可得|BF|2=|AB|2+|AF|2-2|AB|•|AF|cos∠BAF,即可得到|AB|,由勾股定理的逆定理,可得∠ABF=90°,設F′為雙曲線的右焦點,連接BF′,AF′.根據(jù)對稱性可得四邊形AFBF′是矩形.即可得到a,c,進而求得離心率.

解答 解:在△AFB中,由余弦定理可得
|BF|2=|AB|2+|AF|2-2|AB|•|AF|cos∠BAF,
即有64=|AB|2+36-12|AB|•
化為|AB|2-365|AB|-28=0,
解得|AB|=10.
由勾股定理的逆定理,可得∠ABF=90°,
設F'為雙曲線的右焦點,連接BF′,AF′.
根據(jù)對稱性可得四邊形AFBF′是矩形.
結合矩形性質(zhì)可知,2c=10,利用雙曲線定義,2a=8-6=2,
所以離心率e=ca=5.
故答案為:5.

點評 熟練掌握余弦定理、雙曲線的定義、對稱性、離心率、矩形的性質(zhì)等基礎知識是解題的關鍵,考查運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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