Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相切于點(diǎn)P，過橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別作F₁M，F(xiàn)₂N重直于直線l于M，N，記μ=$\frac{{N{F_2}}}{{M{F_1}}}$，當(dāng)P為左頂點(diǎn)時(shí)，μ=9，且當(dāng)μ=1時(shí)，四邊形MF₁F₂N的周長(zhǎng)為22．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：MF₁•NF₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由直線l與x軸垂直時(shí)，μ=9，可得a+c=9（a-c），即$a=\frac{5}{4}c，b=\frac{3}{4}c$．當(dāng)μ=1時(shí)，P為短軸端點(diǎn)，此時(shí)MF₁=NF₂=b，MN=F₁F₂=2c，可得2（b+2c）=22，代入解出即可得出．
（2）對(duì)直線l的斜率分類討論，利用直線與橢圓相切的充要條件、根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 （1）解：∵直線l與x軸垂直時(shí)，μ=9，
即a+c=9（a-c），易得$a=\frac{5}{4}c，b=\frac{3}{4}c$．
當(dāng)μ=1時(shí)，P為短軸端點(diǎn)，此時(shí)MF₁=NF₂=b，MN=F₁F₂=2c，
根據(jù)題意，2（b+2c）=22，
解得a=5，b=3，c=4，
故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）證明：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，NF₂•MF₁=（a-c）•（a+c）=9，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，帶入橢圓方程，可得：$\frac{x^2}{25}+\frac{{{{（kx+m）}^2}}}{9}=1$，整理得（25k²+9）x²+50kmx+25m²-225=0，
∵直線與橢圓相切，∴判別式為零，即△=0，化簡(jiǎn)可得m²=25k²+9，
可得$M{F_1}=\frac{{|{4k-m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，$N{F_2}=\frac{{|{4k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
則$N{F_2}•M{F_1}=\frac{{|{16{k^2}-{m^2}}|}}{{{k^2}+1}}=\frac{{25{k^2}+9-16{k^2}}}{{{k^2}+1}}=9$．
綜上可得：NF₂•MF₁為定值9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切的充要條件、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．