【題目】如圖,已知橢圓:,左頂點(diǎn)為,經(jīng)過(guò)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn),交軸于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為的中點(diǎn),,證明:對(duì)于任意的都有恒成立;
(3)若過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn),求的最小值.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3).
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法求得橢圓的方程;
(2)利用點(diǎn)差法求出直線的斜率,再利用直線的斜率相乘為,證得兩直線垂直;
(3)將式子表示成關(guān)于的表達(dá)式,再利用基本不等式求得最小值.
(1)由題意得:,所以橢圓,
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,
所以橢圓的方程為.
(2)設(shè),
所以,
所以,
因?yàn)橹本的斜率為,所以,
設(shè)直線的方程為,
當(dāng)時(shí),,故,
所以,所以,
所以對(duì)于任意的都有恒成立.
(3)因?yàn)?/span>,所以設(shè)的方程為,代入得:,
所以,.
由,得,
所以弦長(zhǎng),
所以,
所以,
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
所以的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中,第行的所有數(shù)字之和為,若去除所有為1的項(xiàng),依次構(gòu)成數(shù)列,則此數(shù)列的前55項(xiàng)和為( )
A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點(diǎn)在y軸上,焦距是4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項(xiàng)的和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若成等差數(shù)列,,18,成等比數(shù)列,求正整數(shù)的值;
(3)是否存在,使得為數(shù)列中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面命題正確的是( )
A.“”是“”的 充 分不 必 要條件
B.命題“若,則”的 否 定 是“ 存 在,則”.
C.設(shè),則“且”是“”的必要而不充分條件
D.設(shè),則“”是“”的必要 不 充 分 條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,、是給定的非零整數(shù),.
(1)若,,求;
(2)證明:從中一定可以選取無(wú)窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”
B.“”是“”的充分而不必要條件
C.若且為假命題,則、均為假命題
D.命題“存在,使得”,則非“任意,均有”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】世界衛(wèi)生組織的最新研究報(bào)告顯示,目前中國(guó)近視患者人數(shù)多達(dá)6億,高中生和大學(xué)生的近視率均已超過(guò)七成,為了研究每周累計(jì)戶外暴露時(shí)間(單位:小時(shí))與近視發(fā)病率的關(guān)系,對(duì)某中學(xué)一年級(jí)200名學(xué)生進(jìn)行不記名問(wèn)卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周累積戶外暴露時(shí)間(單位:小時(shí)) | 不少于28小時(shí) | ||||
近視人數(shù) | 21 | 39 | 37 | 2 | 1 |
不近視人數(shù) | 3 | 37 | 52 | 5 | 3 |
(1)在每周累計(jì)戶外暴露時(shí)間不少于28小時(shí)的4名學(xué)生中,隨機(jī)抽取2名,求其中恰有一名學(xué)生不近視的概率;
(2)若每周累計(jì)戶外暴露時(shí)間少于14個(gè)小時(shí)被認(rèn)證為“不足夠的戶外暴露時(shí)間”,根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表,并根據(jù)(2)中的列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視有關(guān)系?
近視 | 不近視 | |
足夠的戶外暴露時(shí)間 | ||
不足夠的戶外暴露時(shí)間 |
附:
P | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在上的最值;
(2)若,當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),總有,求此時(shí)實(shí)數(shù)的值.
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