Question

設(shè)矩陣M=

2 1 4 a

，如果關(guān)于x、y的方程組M

x y

=

1 6

沒(méi)有實(shí)數(shù)解，那么矩陣M是否有非零特征值？如果有，求出這個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算

專題：矩陣和變換

分析：本題可先將方程組M

x y

=

1 6

轉(zhuǎn)化為普通方程組，然后求解，當(dāng)解不存在時(shí)，得到a的值，再利用求出的a值，代入矩陣中，求出矩陣的特征多項(xiàng)式，解對(duì)應(yīng)方程，求出特征值，如果有解，再代入方程中，求出它的一個(gè)特征向量．

解答： 解：∵矩陣M=

2 1 4 a

，
∴方程組M

x y

=

1 6

可化為：

2x+y=1 4x+ay=6

，
∴（a-2）y=4．
∵關(guān)于x、y的方程組M

x y

=

1 6

沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
∴a=2．
∴矩陣M=

2 1 4 2

．
∴矩陣M的特征多項(xiàng)式為：
f（λ）=

.

λ-2 -1 -4 λ-2

.

=（λ-2）²-4，
令f（λ）=0，
則（λ-2）²-4=0，λ=0或λ=4，
∴λ=4．
當(dāng)λ=4時(shí)，

2x-y=0 -4x+2y=0

，
取x=1，則y=2，
特征向量

α

=

1 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是矩陣的乘法、矩陣的特征值和特征向量，本題思維量適中，有一定計(jì)算量，屬于中檔題．