已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)F在y軸正半軸上的拋物線Q1過點(diǎn)(2,1),拋物線Q2與Q1關(guān)于x軸對稱.
(I)求拋物線Q2的方程;
(II)過點(diǎn)F的直線交拋物線Q1于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),過A、B分別作Q1的切線l1,l2,記直線l1與Q2的交點(diǎn)為M(m1,n1),N(m2,n2)(m1<m2),求證:拋物線Q2上的點(diǎn)S(s,t)若滿足條件m2s=4,則S恰在直線l2上.
解:(I)設(shè)拋物線Q
1方程為x
2=2py(p>0),
依題意知4=2p∴p=2.
∴Q
1:x
2=4y
又∵拋物線Q
2與Q
1關(guān)于x軸對稱
∴拋物線Q
2的方程為:x
2=-4y.
(II)由題意知AB 的斜率存在,且過焦點(diǎn)(0,1),所以設(shè)直線方程為:y=kx+1.
聯(lián)立
消y得:x
2-4kx-4=0.則x
1x
2=-4.
∵拋物線Q
1的方程為x
2=4y,即y=
.
∴y′=
x,則直線l
1的方程為y-y
1=
(x-x
1)
又y
1=
∴直線l
1的方程為y=
x-
同理可得直線l
2的方程為y=
x-
∵N(m
2,n
2)在直線l
1上,且n
2=-
∴
=
m
2-
①.
又∵x
1x
2=-4,m
2s=4∴x
1=-
,m
2=
則代入①式得:
=
+
兩邊同乘以s
2x
22,得
=
s+
,即-
=
s-
而t=-
,∴t=
s-
,即點(diǎn)S(s,t)滿足直線l
2的方程.
故點(diǎn)S恰在直線l
2上.
分析:(I)設(shè)出拋物線Q
1對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程,代入點(diǎn)(2,1),則求得拋物線Q
1的方程;然后根據(jù)拋物線Q
2與Q
1關(guān)于x軸對稱,則焦點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,開口方向相反,顯然易得拋物線Q
2的方程.
(II)先設(shè)出直線AB的方程;然后與拋物線Q
1聯(lián)立方程組并消y,得關(guān)于x的一元二次方程,并由韋達(dá)定理表示出x
1x
2的值;再根據(jù)直線l
1、l
2是拋物線Q
1的切線,則通過導(dǎo)數(shù)求其斜率,進(jìn)而表示出l
1、l
2的方程;由于點(diǎn)S(s,t)的橫坐標(biāo)s與m
2有等量關(guān)系m
2s=4,則從點(diǎn)N(m
2,n
2)入手,把n
2用m
2的代數(shù)式替換,并根據(jù)點(diǎn)N在直線l
1上建立等量關(guān)系式;再根據(jù)
x
1x
2=-4用x
2替換x
1,經(jīng)變形使剛才的等式與直線l
2的方程形式更加接近;最后由點(diǎn)S(s,t)在Q
2上,滿足t=-
,則代入形如l
2方程的等式,使點(diǎn)S(s,t)的坐標(biāo)s、t恰好滿足直線l
2的方程.則問題解決.
點(diǎn)評:直線與圓錐曲線的相交問題,一般需聯(lián)立方程組,并消元得一元二次方程,進(jìn)而利用韋達(dá)定理來處理;再者,要證明點(diǎn)恒在線上,需始終明確目標(biāo)(即欲證點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程),從相對復(fù)雜的關(guān)系中不斷變形,最終到達(dá)目的地.