Question

設(shè)f（x）=

ax2+bx+1

x+c

（a＞0）為奇函數(shù)，且|f（x）|_min=2

2

，數(shù)列{a_n}滿足如下關(guān)系a₁=2，a_n+1=f（a_n）-a_n．
（Ⅰ）求f（x）的解析表達(dá)式；    
（Ⅱ）證明：a_n+1＞

2n+1

（n∈N^*）；
（Ⅲ）令b_n=

an

n

，研究數(shù)列{b_n}的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的判斷,綜合法與分析法(選修）

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）利用f（x）為奇函數(shù)，且|f（x）|_min=2

2

，求出a，b，c即可的f（x）的解析表達(dá)式．
（Ⅱ）利用已知關(guān)系式，通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法直接證明即可．
（Ⅲ）利用已知關(guān)系式通過(guò)化簡(jiǎn)

bn+1

bn

，利用放縮法以及基本不等式推出比值小于1，即可推出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）是奇函數(shù)，f（-x）+f（x）=0，得b=c=0，f（x）=ax+

1

x

，
∵a＞0，
∴|f（x）|=|ax|+|

1

x

|≥2

|ax|| 1 x |

=2

a

（當(dāng)且僅當(dāng)|ax|=|

1

x

|時(shí)取等號(hào)），
即|f（x）|_min=2

a

，又|f（x）|_min=2

2

，
∴a=2，故f（x）=2x+

1

x

．
（Ⅱ）a_n+1=f（a_n）-a_n=

1

an

+a_n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，a₂=

1

an

+a_n=

5

2

＞

5

不等式成立．
假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即：a_k+1＞

2k+1

成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+22=ak+12+

1

ak+12

+2＞2k+3+

1

ak+12

＞2（k+1）+1，
∴a_k+2＞

2(k+1)+1

，
∴n=k+1時(shí)成立，
綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，a_n+1＞

2n+1

（n∈N^*）恒成立；
（Ⅲ）

bn+1

bn

=

an+1 n

an n+1

=(1+

1

an2

)

n

n+1

＜(1+

1

2n+1

)

n

n+1

=(

2(n+1)

2n+1

)

n

n+1

=

2 n(n+1)

2n+1

=

(n+ 1 2 )2- 1 4

n+ 1 2

＜1．
故b_n+1＜b_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法以及放縮法的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力以及邏輯推理能力．