Question

在半徑為15的球內(nèi)有一個底面邊長為的內(nèi)接正三棱錐，則此正三棱錐的體積為    ．

Answer 1

【答案】分析：因為在半徑為15的球內(nèi)有一個底面邊長為的內(nèi)接正三棱錐，故此三棱錐的高未定，根據(jù)球體的對稱性可判斷符合條件的正三棱錐有兩個，分別考慮球心在三棱錐的高上還是在高外，求得三棱錐的高即可利用三棱錐體積公式計算結果
解答：解：如圖設球的球心為O，內(nèi)接正三棱錐為E-BCD，
則三角形BCD為正三角形，邊長BC=，外接圓半徑AC==12
球的半徑OC=OE=15
（1）若E、A分別在球心O的兩側（如圖1），則在Rt△OAC中，OA===9
∴正三棱錐為E-BCD的高EA=OE+OA=15+9=24
∴正三棱錐為E-BCD的體積
=
（2）若E、A分別在球心O的同側（如圖2），則
在Rt△OAC中，OA===9
∴正三棱錐為E-BCD的高EA=OE-OA=15-9=6
∴正三棱錐為E-BCD的體積=
故答案為 或
點評：本題考查了球與三棱錐的接和切問題，球的性質，正三棱錐的性質及體積計算公式，空間想象能力，分類討論的思想方法