Question

2．已知圓C₁：x²+y²-2x+10y-24=0與圓C₂：x²+y²+2x+2y-8=0
（1）求兩圓的公共弦長；
（2）求以兩圓公共弦為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求出公共弦所在的直線方程，通過圓的圓心到直線的距離，半弦長與半徑的關系，求出弦長即可；
（2）求出以兩圓公共弦為直徑的圓的圓心坐標為（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），半徑為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，可得以兩圓公共弦為直徑的圓的方程．

解答 解：（1）由兩圓C₁：x²+y²-2x+10y-24=0與圓C₂：x²+y²+2x+2y-8=0，
作差得，兩圓C₁，C₂方公共弦方程為x-2y+4=0，
∴圓C₁圓心（1，-5）到直線（公共弦）的距離為d=$\frac{|1+10+4|}{\sqrt{5}}$=3$\sqrt{5}$．
∴弦長=2$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
（2）x-2y+4=0與x²+y²+2x+2y-8=0聯(lián)立可得5y²-12y=0，∴y=0或$\frac{12}{5}$，
y=0時，x=-4，y=$\frac{12}{5}$時，x=$\frac{4}{5}$，
∴以兩圓公共弦為直徑的圓的圓心坐標為（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），半徑為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴以兩圓公共弦為直徑的圓的方程為（x+$\frac{8}{5}$）²+（y-$\frac{6}{5}$）²=$\frac{36}{5}$．

點評 本題考查兩個圓的位置關系，公共弦所在的直線方程，弦長的求法，考查計算能力．