Question

12．平面內(nèi)有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，2），$\overrightarrow{OB}$=（-4，-5），$\overrightarrow{OP}$=（cosα，sinα），當(dāng)α為何值時，f（α）=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$能取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和向量的數(shù)量積的運算得到f（α）=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-13，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（1，2），$\overrightarrow{OB}$=（-4，-5），$\overrightarrow{OP}$=（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$=（1-cosα，2-sinα），$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$=（-4-cosα，-5-sinα），
∴f（α）=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-（1-cosα）（4+cosα）-（2-sinα）（5+sinα）=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-13，
∵-1≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴當(dāng)sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，即α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z時，f（α）有最大值，即為3$\sqrt{2}$-13．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算和向量的數(shù)量積的運算和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．