Question

冬天，潔白的雪花飄落時(shí)十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過(guò)程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復(fù)上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無(wú)限多次繼續(xù)作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設(shè)M₁的邊長(zhǎng)為1．
求：（1）M_n的邊數(shù)a_n；
    （2）M_n的邊長(zhǎng)L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題知：a_n遞推公式為，從而可知{a_n}為等比數(shù)列，故可求通項(xiàng)公式
（2）由題知：每個(gè)圖形的邊長(zhǎng)都相等，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，從而邊長(zhǎng)b_n的遞推公式為，故可求）M_n的邊數(shù)L_n；
（3）當(dāng)由M_n-1生成M_n時(shí)，每條邊上多了一個(gè)面積為的小等邊三角形，共有a_n-1個(gè)．從而可求M_n的面積S_n，進(jìn)而可求極限．
解答：解：（1）由題知：a_n遞推公式為
所以{a_n}為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_n=3•4^n-1   
（2）由題知：每個(gè)圖形的邊長(zhǎng)都相等，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，
所以邊長(zhǎng)b_n的遞推公式為
∴
（3）當(dāng)由M_n-1生成M_n時(shí)，每條邊上多了一個(gè)面積為的小等邊三角形，共有a_n-1個(gè)．
∴
∵
∴
∴
∴M_n的面積S_n的極限為
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列的極限，有一定的綜合性．