已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是橢圓C上的一點(diǎn),且在x軸的上方,H是PF1上一點(diǎn),若
PF2
F1F2
=0,
OH
PF1
=0,|
OH
|=λ|
OF1
|
,λ∈[
1
3
1
2
]
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求橢圓C離心率e的最大值.
分析:由已知中橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是橢圓C上的一點(diǎn),且在x軸的上方,H是PF1上一點(diǎn),
PF2
F1F2
=0,
OH
PF1
=0
,我們易得PF2⊥F1F2,OH⊥PF1,進(jìn)而由|
OH
|=λ|
OF1
|
,我們可以得到離心率e平方的表達(dá)式,分析出其對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到橢圓C離心率e的最大值.
解答:解:由題意知PF2⊥F1F2,OH⊥PF1,則有△F1OH與△F1PF2相似,
所以
|OH|
|OF1|
=
|PF2|
|F1P|
,設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),c>0,P(c,y1),
則有
c2
a2
+
y12
b2
=1
,解得y1=
b2
a
,
所以|PF2|=y1=
b2
a

根據(jù)橢圓的定義得:|F1P|=2a-|PF 2|=2a-
b2
a

λ=
b2
2a2-b2
,
b2
a2
=
1+λ
,
所以e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=
2
1+λ
-1
,
e2=
2
1+λ
-1
[
1
3
1
2
]
上是單調(diào)減函數(shù),
∴當(dāng)λ=
1
3
時(shí),e2取最大值
1
2
,
所以橢圓C離心率e的最大值是
2
2
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的離心率,其中由已知條件求出離心率e平方的表達(dá)式,并分析出其對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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