(2012•湖北模擬)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=λan-1(λ,為常數(shù),n=1,2,3…).
(1)若a3=
a
2
2
,求λ的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由;
(3)當(dāng)λ=2量,若數(shù)列{cn}滿足bn+1=an+bn(n=1,2,3,…),且b1=
2
3
,令cn=
an
(an+1)bn
,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn
分析:(1)由Sn=λan-1,知a1=
1
λ-1
,a2=
λ
(λ-1)2
,a3=
λ2
(λ-1)3
,再由a3=a22,能求出λ的值.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則2a2=a1+a3,故
(λ-1)2
=
1
λ-1
+
λ2
(λ-1)3
,由此能夠推導(dǎo)出不存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(3)當(dāng)λ=2時(shí),Sn=2an-1,故Sn-1=2an-1-1,n≥2,且a1=1,所以an=2n-1,n∈N*.由bn+1=an+bn(n=1,2,3,…),且b1=
2
3
,導(dǎo)出bn=
2n+1
2
,n∈N*,所以cn=
2n-1
(2n-1+1)•
2n+1
2
=2(
1
2n-1+1
-
1
2n+1
),由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn
解答:解:(1)∵Sn=λan-1,
∴a1=λa1-1,
a2+a1=λa2-1,
a3+a2+a1=λa3-1,
由a1=λa1-1,得λ≠1,
a1=
1
λ-1
,a2=
λ
(λ-1)2
,a3=
λ2
(λ-1)3
,
a3=a22,∴
λ2
(λ-1)3
=
λ2
(λ-1)4

∴λ=0,或λ=2.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
則2a2=a1+a3,
由(1)得
(λ-1)2
=
1
λ-1
+
λ2
(λ-1)3
,
(λ-1)2
=
2-2λ+1
(λ-1)3
,解得1=0,不成立,
∴不存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(3)當(dāng)λ=2時(shí),Sn=2an-1,
∴Sn-1=2an-1-1,n≥2,且a1=1,
∴an=2an-2an-1,即an=2an-1,n≥2,
an=2n-1,n∈N*
∵bn+1=an+bn(n=1,2,3,…),且b1=
2
3
,
∴bn=an-1+bn-1
=an-1+an-2+bn-2
=…=an-1+an-2+…+a1+b1
=2n-2+2n-3+…+1+
3
2

=
2n+1
2
,n≥2
當(dāng)n=1時(shí),上式仍然成立,
bn=
2n+1
2
,n∈N*,
cn=
an
(an+1)bn
,
cn=
2n-1
(2n-1+1)•
2n+1
2

=
2•2n-1
(2n-1+1)(2n+1)

=2(
1
2n-1+1
-
1
2n+1
),
∴Tn=c1+c2+…+cn
=2(
1
2
-
1
2+1
+
1
2+1
-
1
22+1
+…+
1
2n-1+1
-
1
2n
)

=1-
2
2n+1

=
2n-1
2n+1
點(diǎn)評(píng):本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法,考查等差數(shù)列的判斷,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
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(2012•湖北模擬)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上有一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為3+2
2
3-2
2

(1)求橢圓的方程;
(2)如果直線x=t(t∈R)與橢圓相交于A,B,若C(-3,0),D(3,0),證明直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上;
(3)過點(diǎn)Q(1,0)作直線l(與x軸不垂直)與橢圓交于M、N兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)R,若
RM
MQ
,
RN
NQ
,證明:λ+μ為定值.

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(2012•湖北模擬)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,點(diǎn)P在AM上,且滿足
AP
=2
PM
,則
PA
•(
PB
+
PC
)
的值為( 。

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(2012•湖北模擬)已知函數(shù)y=g(x)的圖象由f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ<π)個(gè)單位得到,這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示,則φ=
π
3
π
3

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1
3
1
3

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(2012•湖北模擬)函數(shù)f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為正常數(shù),且函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行.
(1)求a的值;
(2)若存在x使不等式
x-m
f(x)
x
成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)y=f(x)和y=g(x)公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0,我們把|f(x0)-g(x0)|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證:函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

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