Question

已知f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R）．
（Ⅰ）已知對于給定區(qū)間（a，b），存在x₀∈（a，b）使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)成立，求證：x₀唯一；
（Ⅱ）x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，當(dāng)m=1時，比較f（

x1+x2

2

）和

f(x1)+f(x2)

2

大小，并說明理由；
（Ⅲ）設(shè)A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R，m≥1）圖象上三個不同的點(diǎn)，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假設(shè)存在x'₀，x₀∈（a，b），且x'₀≠x₀，使得f'（x₀）=f'（x'₀），由此導(dǎo)出g′(x)=

ex

(1+ex)2

＞0，f′(x)是[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)，從而得到x₀是唯一的．
（Ⅱ）f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，設(shè)F(x)=f(

x+x2

2

)-

f(x)+f(x2)

2

，則F′(x)=

1

2

f′(

x+x2

2

)-

f′(x)

2

．由f'（x）單調(diào)增．知x＞x₂時，F(xiàn)（x）單調(diào)減．x＜x₂時，F(xiàn)（x）單調(diào)增，所以f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，因為m≥1，由f′(x)=

ex

1+ex

-m=1-m-

1

ex+1

＜0，知f（x）是x∈R上的單調(diào)減函數(shù)由此入手能推導(dǎo)出△ABC為鈍角三角形．

解答：解：（Ⅰ）證明：假設(shè)存在x'₀，x₀∈（a，b），且x'₀≠x₀，使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)，

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x′0)，
即f'（x₀）=f'（x'₀）．（1分）
∵f′(x)=

ex

1+ex

-m，記g(x)=f′(x)，∴g′(x)=

ex

(1+ex)2

＞0，f′(x)是[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)（或者通過復(fù)合函數(shù)單調(diào)性說明f'（x）的單調(diào)性）．（3分）
∴x₀=x'₀，這與x'₀≠x₀矛盾，即x₀是唯一的．（4分）
（Ⅱ）f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，原因如下：
設(shè)F(x)=f(

x+x2

2

)-

f(x)+f(x2)

2

，則F′(x)=

1

2

f′(

x+x2

2

)-

f′(x)

2

．
由（Ⅰ）知f'（x）單調(diào)增．
所以當(dāng)x＞x₂即

x+x2

2

＜x時，有F′(x)=

1

2

f′(

x+x2

2

)-

f′(x)

2

＜0
所以x＞x₂時，F(xiàn)（x）單調(diào)減．（5分）
當(dāng)x＜x₂即

x+x2

2

＞x時，有F′(x)=

1

2

f′(

x+x2

2

)-

f′(x)

2

＞0
所以x＜x₂時，F(xiàn)（x）單調(diào)增．（6分）
所以F（x）＜F（x₂）=0，所以f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．（8分）
（Ⅲ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，因為m≥1
∵f′(x)=

ex

1+ex

-m=1-m-

1

ex+1

＜0，∴f（x）是x∈R上的單調(diào)減函數(shù)．（9分）
∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．∵

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))．（10分）
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴

BA

•

BC

＜0，∴cosB＜0，∠B為鈍角．故△ABC為鈍角三角形．（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的綜合運(yùn)用，具有一定的難度，解題時要認(rèn)真審題，注意題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換．