如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=1,BC=,AA1=2;點D在棱BB1上,BD=BB1;
B1E⊥A1D,垂足為E,求:
(Ⅰ)異面直線A1D與B1C1的距離;
(Ⅱ)四棱錐C-ABDE的體積.

【答案】分析:(Ⅰ)先根據(jù)線面垂直的判定定理可知B1C1⊥平面A1B1D,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知B1C1⊥B1E,B1E⊥A1D,則B1E是異面直線B1C1與A1D的公垂線,利用等面積法求出B1E的長;
(Ⅱ)根據(jù)BC∥B1C1,可得BC⊥平面ABDE,從而BC為四棱錐C-ABDE的高.從而所求四棱錐的體積V為V=VC-ABDE=×S,其中S為四邊形ABDE的面積,過E作EF⊥BD,垂足為F.利用等面積法求出EF,而S=S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D即可求出所求.
解答:解:(Ⅰ)由直三棱柱的定義知B1C1⊥B1D,又因為∠ABC=90°,
因此B1C1⊥A1B1,從而B1C1⊥平面A1B1D,得B1C1⊥B1E.又B1E⊥A1D,
故B1E是異面直線B1C1與A1D的公垂線

在Rt△A1B1D中,A2D=
又因
故B1E=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1C1⊥平面A1B1D,又BC∥B1C1,故BC⊥平面ABDE,
即BC為四棱錐C-ABDE的高.從而所求四棱錐的體積V為
V=VC-ABDE=×S,
其中S為四邊形ABDE的面積.如圖1,過E作EF⊥BD,垂足為F.
在Rt△B1ED中,ED=,
又因S△B1ED=,
故EF=
因△A1AE的邊A1A上的高,故
S△A1AE=
又因為S△A1BD=,從而
S=S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D=2-
所以
點評:本題主要考查了異面直線的距離,以及三棱錐的體積的計算,體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn),值得重視.
練習冊系列答案
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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

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P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

 

 

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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA。
(I)求證:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
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(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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