Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實數(shù)）(a≤

1

2

)
（1）若 a=1，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）由a=1，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進而每一段轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，用二次函數(shù)法求得每段的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）受（1）的啟發(fā)，用二次函數(shù)法求函數(shù)的最小值，要注意定義域，同時由于a不具體，要根據(jù)對稱軸分類討論．

解答：解：（1）：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，   x＜0 x2-x+1，    x≥0

∴f（x）的單增區(qū)間為：(-

1

2

，0)，(

1

2

，+∞)（5分）
（2）當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1
若a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，則f（x）=a（x-

1

2a

）2+2a-

1

4a

-1，f（x）圖象的對稱軸是直線x=

1

2a

當(dāng)a＜0時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．
當(dāng)0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2．
當(dāng)1＜

1

2a

＜2，即

1

4

≤a≤

1

2

時，g（a）=f（

1

2a

）=2a-

1

4a

-1
當(dāng)2＜

1

2a

，即0＜a＜

1

4

時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．
綜上得g（a）=

6a-3，   0＜a＜ 1 4    2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，  a＞ 1 2

．

點評：本題主要考查分段函數(shù)，二次函數(shù)，考查求其單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最值，充分考查了分類討論的方法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．