Question

設(shè)f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

， g(n)=lnn  (n∈N*)．
（1）設(shè)a_n=f（n）-g（n），求a₁，a₂，a₃，并證明{a_n}為遞減數(shù)列；
（2）是否存在常數(shù)c，使f（n）-g（n）＞c對n∈N^*恒成立？若存在，試找出c的一個值，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由“an=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn”，可得到a₁，a₂，a₃，再由通項公式求得a_n+1-a_n，再判斷它與0的大小，從而判斷是否為遞減的等差數(shù)列．
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在常數(shù)c，使f（n）-g（n）＞c對n∈N^*恒成立，再利用ln（1+x）＜x對x＞0恒成立，通過取x=

1

n-1

(n≥2)即可得到證明，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）an=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn．
由此a₁=1．  a2=

3

2

-ln2，a3=

11

6

-ln3．
又an+1-an=lnn-ln(n+1)+

1

n+1

=ln(1-

1

n+1

)+

1

n+1

．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（1-x）+x．x∈（0，1）
由h′(x)=1-

1

1-x

=-

x

1-x

＜0
知h（x）在[0，1）上為單減函數(shù)．
從而當(dāng)x＞0時，h（x）＜h（0）=0
取x=

1

n+1

∈(0，1)．有h(

1

n+1

)＜0
即a_n+1-a_n＜0
故{a_n}為遞減數(shù)列．
（2）存在如C=0等，下證1+

1

2

+…+

1

3

+…+

1

n

＞lnn(n∈N*)
注意到lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

．
這只要證

1

n-1

＞ln

n

n-1

=ln(1+

1

n-1

)(n≥2)即可．
∵ln（1+x）＜x對x＞0恒成立，
∴取x=

1

n-1

(n≥2)即可得上式成立．
從而1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn＞0
此時常數(shù)c=0．

點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了數(shù)列的定義，通項，不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．