Question

1．定義運算a?b=$\frac{a+b-|a-b|}{2}$，則當a=3+log${\;}_{\frac{1}{4}}$x，b=log₂x時，函數(shù)f（x）=a?b的最大值為2．

Answer 1

分析 先由定義確定函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性求函數(shù)的值域

解答 解：∵a=3+log${\;}_{\frac{1}{4}}$x=3+$\frac{lo{g}_{2}x}{lo{g}_{2}\frac{1}{4}}$=3-$\frac{1}{2}$log₂x
定義運算a?b=$\frac{a+b-|a-b|}{2}$，則當a=3+log${\;}_{\frac{1}{4}}$x，b=log₂x時，
函數(shù)f（x）=a?b=$\frac{1}{2}$[（3-$\frac{1}{2}$log₂x+log₂x）-|3-$\frac{1}{2}$log₂x-log₂x|]=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{1}{2}$log₂x-3|1-$\frac{1}{2}$log₂x|]
當0＜x≤4，f（x）=log₂x，此時函數(shù)為增函數(shù)，f（x）_max=f（4）=2，
當x＞4時，f（x）=3-$\frac{1}{2}$log₂x，此時函數(shù)為減函數(shù)，f（x）_max=f（4）=3-1=2，
故函數(shù)f（x）=a?b的最大值為2，
故答案為：2．

點評 本題考查新定義以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求對數(shù)函數(shù)的值域要注意函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．