Question

已知k＞0,直線l₁:y=kx,l₂:y=-kx.

(1)證明到l₁、l₂的距離的平方和為定值a(a＞0)的點(diǎn)的軌跡是圓或橢圓;

(2)求到l₁、l₂的距離之和為定值c(c＞0)的點(diǎn)的軌跡.

Answer 1

(1)證明：設(shè)點(diǎn)P(x,y)為動點(diǎn)，則

    +=a,

    整理得+=1.

    因此，當(dāng)k=1時(shí)，動點(diǎn)的軌跡為圓；

    當(dāng)k≠1時(shí)，動點(diǎn)的軌跡為橢圓.

(2)解：設(shè)點(diǎn)P(x,y)為動點(diǎn)，則

    |y-kx|+|y+kx|=c.

    當(dāng)y≥k|x|時(shí)，y-kx+y+kx=c,即y=c;

    當(dāng)y≤-k|x|時(shí)，kx-y-y-kx=c,即y=-c;

    當(dāng)-k|x|＜y＜k|x|,x＞0時(shí)，kx-y+y+kx=c,即x=c;

    當(dāng)-k|x|＜y＜k|x|,x＜0時(shí)，y-kx-y-kx=c,即x=-c.

    綜上，動點(diǎn)的軌跡為矩形.