Question

8．求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）以直線x=2為準(zhǔn)線的拋物線；
（2）以點(diǎn)（0，2）為焦點(diǎn)的拋物線；
（3）以雙曲線x²-y²=4的中心、右焦點(diǎn)分別為頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的拋物線；
（4）以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸且過(guò)點(diǎn)（-3，-1）的拋物線；
（5）以橢圓9x²+16y²=144的中心、左焦點(diǎn)分別為頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的拋物線．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，利用準(zhǔn)線方程為x=2，即可求得p的值，進(jìn)而求得拋物線的方程；
（2）由題意和拋物線的性質(zhì)判斷出拋物線的開(kāi)口方向，并求出p的值，即可寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）由雙曲線方程求出雙曲線的中心坐標(biāo)即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出p，則拋物線方程可求；
（4）對(duì)稱軸分為是x軸和y軸兩種情況，分別設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2px和x²=-2py，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（5）由橢圓方程求出橢圓的中心坐標(biāo)即為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出橢圓的a，b，c，可得左焦點(diǎn)，即可得到開(kāi)口向左的拋物線的方程．

解答 解：（1）由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，則$-\frac{p}{2}=2$，∴p=-4，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-8x；
（2）∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），
∴拋物線開(kāi)口向上，且p=4，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=8y；
（3）由x²-y²=4，得$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，則雙曲線的中心為O（0，0），∴拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），
又a²=4，b²=4，∴c²=a²+b²=8，則c=2$\sqrt{2}$．
∴雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$的右焦點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，0），
則$\frac{p}{2}=2\sqrt{2}$，∴p=4$\sqrt{2}$，
∴拋物線方程是y²=8$\sqrt{2}$x；
（4）拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，-1），
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2px（p＞0）
∴1=6p，解得p=$\frac{1}{6}$，
∴y²=-$\frac{1}{3}$x．
拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，-1），
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=-2py（p＞0）
∴9=2p，
解得：p=$\frac{2}{9}$．
∴x²=-$\frac{4}{9}$y．
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=-$\frac{1}{3}$x或x²=-$\frac{4}{9}$y；
（5）由橢圓9x²+16y²=144，得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，則橢圓的中心坐標(biāo)為（0，0），
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），又a²=16，b²=9，∴c²=a²-b²=7，則c=$\sqrt{7}$，可得左焦點(diǎn)為（-$\sqrt{7}$，0），
∴拋物線的方程為y²=-$4\sqrt{7}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了雙曲線及橢圓的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．