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6.函數(shù)f(x)=axn(1-x)(x>0,n∈N*),當n=-2時,f(x)的極大值為427
(1)求a的值;
(2)求證:f(x)+lnx≤0;
(3)求證:f(x)<1ne

分析 (1)求出函數(shù)的對數(shù),根據(jù)n=2時,f(x)的極大值為427,得到f(23)=a•49×13=427,解出即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為證xn(1-x)+lnx≤0,設(shè)g(x)=xn(1-x)+lnx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;
(3)求出f(x)的最大值,問題轉(zhuǎn)化為證明:nn+1n+11e,通過取對數(shù)結(jié)合換元思想以及函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

解答 解:(1)n=2時,f(x)=ax2(1-x),
∴f′(x)=ax(2-3x),
令f′(x)=0得:x=0或x=23,
∵n=2時,f(x)的極大值為427,
故a>0,且f(23)=a•49×13=427,解得:a=1;
(2)要證f(x)+lnx≤0,即證xn(1-x)+lnx≤0,
設(shè)g(x)=xn(1-x)+lnx,定義域是(0,+∞),
則g′(x)=1x[1+x+x2++n+1xn]x,
∵x>0,∴x∈(0,1)時,g′(x)>0,g(x)遞增,
x∈(1,+∞)時,g′(x)<0,g(x)遞減,
∴g(x)的最大值是g(1)=0,∴g(x)≤0成立,命題得證;
(3)∵f(x)=xn(1-x),∴f′(x)=nxn-1-(n+1)xn=(n+1)xn-1nn+1-x),
顯然,f(x)在x=nn+1處取得最大值,f(nn+1)=nnn+1n+1,
因此只需證:nnn+1n+11ne,即證:nn+1n+11e,
兩邊取對數(shù),原式lnnn+1<-1n+1,
設(shè)t=nn+1(0<t<1),則n=t1t,1n+1=1-t,
因此只需證:lnt<t-1即可,
令ω(t)=lnt-t+1,∵0<t<1,
∴ω′(t)=1t-1>0,ω(t)在(0,1)遞增,
故ω(t)<ω(1)=0成立,
即lnt<t-1,結(jié)論成立.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道綜合題.

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