Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC₁．
（Ⅰ）證明：AB=AC；
（Ⅱ）設(shè)二面角A-BD-C為60°，求B₁C與平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BE，可根據(jù)射影相等的兩條斜線段相等證得BD=DC，再根據(jù)相等的斜線段的射影相等得到AB=AC；
（2）求B₁C與平面BCD所成的線面角，只需求點(diǎn)B₁到面BDC的距離即可，作AG⊥BD于G，連GC，∠AGC為二面角A-BD-C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．

解答：解：如圖
（I）連接BE，∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴∠B₁BC=90°，
∵E為B₁C的中點(diǎn)，∴BE=EC．
又DE⊥平面BCC₁，
∴BD=DC（射影相等的兩條斜線段相等）而DA⊥平面ABC，
∴AB=AC（相等的斜線段的射影相等）．

（II）求B₁C與平面BCD所成的線面角，
只需求點(diǎn)B₁到面BDC的距離即可．
作AG⊥BD于G，連GC，則GC⊥BD，
∠AGC為二面角A-BD-C的平面角，∠AGC=60°
不妨設(shè)AC=2

3

，則AG=2，GC=4
在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得AD=

6

設(shè)點(diǎn)B₁到面BDC的距離為h，B₁C與平面BCD所成的角為α．
利用

1

3

S△B1BC•DE=

1

3

S△BCD•h，
可求得h=2

3

，又可求得B1C=4

3

sinα=

h

B1C

=

1

2

，∴α=30°．
即B₁C與平面BCD所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．