Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離之比是．   
（I）求曲線C的方程；
（II）設(shè)B為曲線C與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，問：是否存在方向向量為的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn)，使，且與夾角為60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，欲曲線C的方程，設(shè)P（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，只須求出x，y之間的關(guān)系式即可，根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離的比值，可得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，化簡即得；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在方向向量為的直線l，再設(shè)所求直線l：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得m值．若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，依題意（2分）
化簡：，
∴曲線C為橢圓，其方程為（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m，
由 消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點(diǎn)G（x，y），
則，

=…（ 1）
依題意：，與夾角為60°，
∴△BMN為等邊三角形，
∴k_BG•k=-1，即，…（2）
由（2）代入（1）：，
又∵△BMN為等邊三角形，∴B到MN距離，
即解得：，m=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=1使方程有解，所以直線l的方程為：（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的定義的靈活應(yīng)用，解決直線與圓錐曲線的相交的有關(guān)問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于應(yīng)該未知數(shù)的方程，利用韋達(dá)定理來解決．