Question

數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的，總有成等差數(shù)列

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（2）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，求證對(duì)任意的實(shí)數(shù)和任意的正整數(shù)n，總有.

 

Answer 1

（1） ；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，可得2Sn=an+an2①與2Sn?1＝an?1+an?1 2②成立，①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，可以化簡(jiǎn)為an-an-1=1（n≥2），進(jìn)而可得{an}是公差為1的等差數(shù)列，將n=1代入①中，可得a1=1，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得答案；

（2）由對(duì)數(shù)的性質(zhì)，分析可得對(duì)任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而an=n，則總有，用放縮法，可得，由裂項(xiàng)相消法，對(duì)右式求和可得證明．

試題解析：【解析】
（1）成等差數(shù)列

是等差數(shù)列

（2）

考點(diǎn)：1.數(shù)列與不等式的綜合；2.等差關(guān)系的確定；3.數(shù)列的求和；4.數(shù)列遞推式．