Question

已知函數(shù)y=f（x）=x³+px²+qx的圖象與x軸切于非原點的一點，那么p、q的關(guān)系為

 

．

Answer 1

分析：由函數(shù)與x軸相切于一點得：y=0與y=f（x）=x³+px²+qx聯(lián)立得到p、q的等式；再由該點是切點可得在此點處的導(dǎo)數(shù)為0，由此關(guān)系也可以得到關(guān)于p，q的方程，將上述兩式聯(lián)立可解得切點的坐標(biāo)，代入①或②中任一式，即可得到兩參數(shù)的關(guān)系．

解答：解：因為函數(shù)y=f（x）=x³+px²+qx的圖象與x軸切于非原點的一點
令y=f（x）=x³+px²+qx=0由于x≠0，可得x²+px+q=0  ①
又f′（x）=3x²+2px+q，令導(dǎo)數(shù)為0得3x²+2px+q=0   ②
由②-①得2x²+px=0，可得切點坐標(biāo)為(-

p

2

，0)代入①得
  p²-4q=0．
故答案為：p²-4q=0．

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值的能力，本題求解的關(guān)鍵是看出切點的兩個作用，一個是此點處函數(shù)值為0，一個是導(dǎo)數(shù)值也為0，把問題進(jìn)行正確、全面的轉(zhuǎn)化是解題成功的保證．