Question

已知函數(shù)f（a）=log_a（x²-ax+3（a＞0，a≠1））滿足：對(duì)實(shí)數(shù)α，β，當(dāng)α＜β≤

a

2

時(shí)，總有f（α）-f（β）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中對(duì)實(shí)數(shù)α，β，當(dāng)α＜β≤

a

2

時(shí)，總有f（α）-f（β）＞0，我們易得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，

a

2

]單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域，及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，分別討論a的不同取值，即可得到滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：若對(duì)實(shí)數(shù)α，β，當(dāng)α＜β≤

a

2

時(shí)，總有f（α）-f（β）＞0，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，

a

2

]單調(diào)遞減，
若函數(shù)的解析式有意義則x²-ax+3＞0
令u=x²-ax+3
若0＜a＜1時(shí)，則f（u）為減函數(shù)，u=x²-ax+3在區(qū)間（-∞，

a

2

]單調(diào)遞減，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，不滿足條件
若a＞1時(shí)，則f（u）為增函數(shù)，u=x²-ax+3，在區(qū)間（-∞，

a

2

]單調(diào)遞減，則復(fù)合函數(shù)在其定義域上為減函數(shù)
且滿足f（

a

2

）=

12-a2

4

＞0，解得-2

3

＜a＜2

3

∴滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍（1，2

3

）
故答案為：（1，2

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，其中根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，

a

2

]單調(diào)遞減，是解答本題的關(guān)鍵，但本題易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)部分必大于0而錯(cuò)解為（1，+∞）．