【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A,曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為﹣1.
(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明:當x>0時,x2<ex
(3)證明:對任意給定的正數(shù)c,總存在x0 , 使得當x∈(x0 , +∞)時,恒有x2<cex

【答案】
(1)解:由f(x)=ex﹣ax,得f′(x)=ex﹣a.

又f′(0)=1﹣a=﹣1,解得a=2,

∴f(x)=ex﹣2x,f′(x)=ex﹣2.

由f′(x)=0,得x=ln2,

當x<ln2時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x>ln2時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

∴當x=ln2時,f(x)有極小值為f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4.f(x)無極大值


(2)證明:令g(x)=ex﹣x2,則g′(x)=ex﹣2x,

由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4>0,即g′(x)>0,

∴當x>0時,g(x)>g(0)>0,即x2<ex


(3)首先證明當x∈(0,+∞)時,恒有 x3<ex

證明如下:

令h(x)= x3﹣ex,則h′(x)=x2﹣ex

由(2)知,當x>0時,x2<ex

從而h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,

所以h(x)<h(0)=﹣1<0,即 x3<ex,

取x0= ,當x>x0時,有 x2 x3<ex

因此,對任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當x∈(x0,+∞)時,恒有x2<cex


【解析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求得a,再利用導數(shù)的符號變化可求得函數(shù)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex﹣x2 , 求出導數(shù),利用(1)問結(jié)論可得到函數(shù)的符號,從而判斷g(x)的單調(diào)性,即可得出結(jié)論;(3)首先可將要證明的不等式變形為 x2<ex , 進而發(fā)現(xiàn)當x> 時, x2 x3 , 因此問題轉(zhuǎn)化為證明當x∈(0,+∞)時,恒有 x3<ex

練習冊系列答案
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A. 先把高三年級的2000名學生編號:1到2000,再從編號為1到50的50名學生中隨機抽取1名學生,其編號為,然后抽取編號為的學生,這樣的抽樣方法是分層抽樣法

B. 線性回歸直線不一定過樣本中心點

C. 若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

D. 若一組數(shù)據(jù)1、、3的平均數(shù)是2,則該組數(shù)據(jù)的方差是

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【題目】隨著經(jīng)濟的發(fā)展,我市居民收入逐年增長,下表是我市一建設銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額):

年份

2011

2012

2013

2014

2015

儲蓄存款(千億元)

5

6

7

8

10

為了研究計算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理,

(1)填寫下列表格并根據(jù)表格求關(guān)于的線性回歸方程;

時間代號

(2)通過(Ⅰ)中的方程,求出關(guān)于的回歸方程,并用所求回歸方程預測到2020年年底,該銀行儲蓄存款額可達多少?

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【題目】7個人排成一排,按下列要求各有多少種排法?

其中甲不站排頭,乙不站排尾;

其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰;

其中甲、乙中間有且只有1人;

其中甲、乙、丙按從左到右的順序排列.

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【題目】已知某中學共有高一學生800.在一次數(shù)學與地理的水平測試則試后,學校決定利用隨機數(shù)表法從中抽取100人進行成績抽樣分析,先將800人按001002,…,800進行編號.

1)如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀,請你依次寫出最先檢查的3個人的編號;

(下面摘取了隨機數(shù)表的第7行到第9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

2)抽取的100人的數(shù)學與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚?/span>

人數(shù)

數(shù)學

優(yōu)秀

良好

及格

地理

優(yōu)秀

7

20

5

良好

9

18

6

及格

4

成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個等級;橫向,縱向分別表示地理成績與數(shù)學成績,例如:表中數(shù)學成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)共有.

①若在該樣本中,數(shù)學成績優(yōu)秀率是30%,求,的值:

②在地理成績及格的學生中,已知,,求數(shù)學成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.

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x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸直線方程;

(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤試根據(jù)(2)求出的回歸直線方程,預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤?

注: .

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