【題目】集合、為的一個(gè)等濃二分劃(即,,且.記集合中所有數(shù)的積為,集合中所有數(shù)的積為,稱為的等濃二分劃的特征數(shù).證明:
(1)集合的等濃二分劃的特征數(shù)一定為合數(shù);
(2)若等濃二分劃的特征數(shù)不為2的倍數(shù),則該特征數(shù)為的倍數(shù).
注:有限集合的元素個(gè)數(shù)簡(jiǎn)記為.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)集合中的2014個(gè)數(shù)恰有1007個(gè)偶數(shù),1007個(gè)奇數(shù).
若全部偶數(shù)不全在、的同一個(gè)集合中,則、每個(gè)集合中均含偶數(shù).
于是,與被2整除.
因此,被2整除.
若全部偶數(shù)均在、的一個(gè)集合中,不妨設(shè)集合的1007個(gè)元素全為偶數(shù),則集合的1007個(gè)元素全為奇數(shù).
顯然,集合中包含偶數(shù)6,集合中包含奇數(shù)3.
于是,與均為3的倍數(shù).
因此,被3整除.
因?yàn)?/span>,所以,為合數(shù).
(2)已知不為2的倍數(shù).則為奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)、一個(gè)為奇數(shù)一個(gè)為偶數(shù).
不妨設(shè)為奇數(shù).則集合的元素只能是這1007個(gè)奇數(shù).
注意到,.
在集合中含有因數(shù)31的數(shù)記為.
因?yàn)?/span>中含兩個(gè)因數(shù)31,所以,集合中含因數(shù)31的共有34個(gè).
從而,在集合中型的數(shù)中除去,含有因數(shù)13的數(shù)超過(guò)34個(gè).
類似地,在集合中型的數(shù)中除去和,含有因數(shù)5的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)34個(gè).
于是,.
集合的元素只能是這1007個(gè)偶數(shù).
注意到,.
在集合中含有因數(shù)31的數(shù)記為
.
因?yàn)?/span>中含兩個(gè)因數(shù)31,所以,集合中含因數(shù)31的共有33個(gè).
從而,在集合中型或型的數(shù)含的因數(shù)5和13各自均多于33個(gè).
于是,.
因此,,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓E: + =1(a>b>0)的焦點(diǎn)到直線x﹣3y=0的距離為 ,離心率為 ,拋物線G:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)重合;斜率為k的直線l過(guò)G的焦點(diǎn)與E交于A,B,與G交于C,D.
(1)求橢圓E及拋物線G的方程;
(2)是否存在學(xué)常數(shù)λ,使 為常數(shù),若存在,求λ的值,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,以9點(diǎn)與3點(diǎn)所在直線為x軸,以6點(diǎn)與12點(diǎn)為y軸,設(shè)秒針針尖指向位置P(x,y),若初始位置為P0( , ),秒針從P0(注此時(shí)t=0)開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蜃邉?dòng),則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系為( )
A.y=sin( t+ )
B.y=sin( t﹣ )
C.y=sin(﹣ t+ )
D.y=sin(﹣ t﹣ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F,連結(jié)CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E.
(1)求證:AE=EB;
(2)求EFFC的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年,在國(guó)家創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)戰(zhàn)略下,北斗系統(tǒng)作為一項(xiàng)國(guó)家高科技工程,一個(gè)開(kāi)放型的創(chuàng)新平臺(tái),1400多個(gè)北斗基站遍布全國(guó),上萬(wàn)臺(tái)套設(shè)備組成星地“一張網(wǎng)”,國(guó)內(nèi)定位精度全部達(dá)到亞米級(jí),部分地區(qū)達(dá)到分米級(jí),最高精度甚至可以達(dá)到厘米或毫米級(jí)。最近北斗三號(hào)工程耗資9萬(wàn)元建成一小型設(shè)備,已知這臺(tái)設(shè)備從啟用的第一天起連續(xù)使用,第天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元,使用它直至“報(bào)廢最合算”(所謂“報(bào)廢最合算”是指使用這臺(tái)儀器的平均每天耗資最少)為止,一共使用了多少天,平均每天耗資多少錢?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖在長(zhǎng)為10千米的河流的一側(cè)有一條觀光帶,觀光帶的前一部分為曲線段,設(shè)曲線段為函數(shù)(單位:千米)的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為;觀光帶的后一部分為線段.
(1)求函數(shù)為曲線段的函數(shù)的解析式;
(2)若計(jì)劃在河流和觀光帶之間新建一個(gè)如圖所示的矩形綠化帶,綠化帶僅由線段構(gòu)成,其中點(diǎn)在線段上.當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí),綠化帶的總長(zhǎng)度最長(zhǎng)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)及圓.
(1)若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為,求的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)m是實(shí)數(shù),,若函數(shù)為奇函數(shù).
求m的值;
用定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞增;
若不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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