Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（1-x），x＜0}\\{{x}^{2}-ax，x≥0}\end{array}\right.$，且g（x）=f（x）+$\frac{x}{2}$有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可知y=-$\frac{x}{2}$與y=ln（1-x）（x＜0）一定有一交點；然后分a≤0和a＞0分類分析，當(dāng)a≤0時，函數(shù)y=f（x）的圖象與y=-$\frac{x}{2}$的圖象有兩個不同交點，不滿足題意；當(dāng)a＞0時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{x}{2}}\\{y={x}^{2}-ax}\end{array}\right.$，得2x²-（2a-1）x=0，可得方程2x²-（2a-1）x=0有一0根一正根，由此列式求得a的范圍．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{x}{2}$有三個零點，即方程f（x）+$\frac{x}{2}$=0有三個根，
也就是函數(shù)y=f（x）的圖象與y=-$\frac{x}{2}$的圖象有三個不同交點．
如圖：

y=-$\frac{x}{2}$與y=ln（1-x）（x＜0）一定有一交點；
當(dāng)a≤0時，y=x²-ax（x≥0）的圖象是圖中虛線部分，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與y=-$\frac{x}{2}$的圖象有兩個不同交點，不滿足題意；
當(dāng)a＞0時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{x}{2}}\\{y={x}^{2}-ax}\end{array}\right.$，得2x²-（2a-1）x=0．
若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=-$\frac{x}{2}$的圖象有三個不同交點，則方程2x²-（2a-1）x=0有一0根一正根，
則$\frac{2a-1}{2}＞0$，即a＞$\frac{1}{2}$．
∴實數(shù)a的取值范圍為：（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．