Question

13．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=$\frac{4}{5}$，cosC=$\frac{5}{13}$，a=1，則b=$\frac{21}{13}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用同角的平方關(guān)系可得sinA，sinC，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，可得sinB，運(yùn)用正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$，代入計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由cosA=$\frac{4}{5}$，cosC=$\frac{5}{13}$，可得
sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=$\frac{3}{5}$，
sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{25}{169}}$=$\frac{12}{13}$，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$
=$\frac{1×\frac{63}{65}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{21}{13}$．
故答案為：$\frac{21}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，以及同角的平方關(guān)系的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．