如圖,已知四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,沿AC將△ABC折起,使點(diǎn)B到點(diǎn)P的位置,且平面PAC⊥平面ACD.
(I)證明:DC⊥平面APC;
(II)求二面角B-AP-D的余弦值.
分析:(I)證明DC⊥平面APC,因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ACD,只需證明DC⊥AC即可
(II)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求出平面APB、平面APD的法向量,利用向量的夾角公式,即可求得二面角B-AP-D的余弦值.
解答:(I)證明:∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴AC=
2

∵四邊形ABCD為直角梯形,AD=2,AB=BC=1
∴CD=
2
,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°
∴DC⊥AC
∵平面PAC⊥平面ACD,平面PAC∩平面ACD=AC.
∴DC⊥平面APC;
(II)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),P(
1
2
,
1
2
,
2
2

AB
=(1,0,0)
,
AP
=(
1
2
,
1
2
,
2
2
)
AD
=(0,2,0)

設(shè)平面APB的法向量為
n
=(x1,y1,z1)
,平面APD的法向量為
m
=(x2,y2z2)

n
AB
=0
,
n
AP
=0

x1=0
x1
2
+
y1
2
+
2
z1
2
=0
∴可取
n
=(0,-
2
,1)

同理
m
=(-
2
,0,1)

cos<
n
,
m
>  =
n
m
|
n
||
m
|
=
1
3

∵二面角B-AP-D的平面角為鈍二面角
∴二面角B-AP-D的余弦值為-
1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判斷方法,掌握平面法向量的求解,屬于中檔題.
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如圖,已知四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,沿AC將△ABC折起,使點(diǎn)B到點(diǎn)P的位置,且平面PAC⊥平面ACD.
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