(2012•三明模擬)(1)選修4-2:矩陣與變換
設(shè)矩陣M=
1a
b1

(I)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1
(II)若曲線C:x2+4xy+2y2=1在矩陣M的作用下變換成曲線C':x2-2y2=1,求a+b的值.
(2)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合.圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(α為參數(shù)),點Q極坐標為(2,
4
)

(Ⅰ)化圓C的參數(shù)方程為極坐標方程;
(Ⅱ)若點P是圓C上的任意一點,求P、Q兩點距離的最小值.
(3)選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|.
(Ⅰ)求y=f(x)的最小值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≥4的解集為A,求集合A.
分析:(1)(I)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=
x1y1
x2y2
,則MM-1=
10
01
,建立方程組,即可求得所求的逆矩陣;
(II)設(shè)曲線C上任意一點P(x,y),它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點P'(x',y'),可得
x+ay=x′
bx+y=y′
,利用點P'(x',y')在曲線C'上,可得曲線C的方程,根據(jù)已知曲線C的方程,比較系數(shù)可得結(jié)論;
(2)(I)先求圓C的普通方程,展開,再化為極坐標方程;
(II)點Q的直角坐標為(2,-2),且點Q在圓C內(nèi),求出|QC|=
2
,可得P,Q兩點距離的最小值;
(3)(I)利用絕對值的運用,寫出分段函數(shù),從而可求y=f(x)的最小值;
(II)利用分段函數(shù),根據(jù)f(x)≥4,列出不等式,即可求得不等式f(x)≥4的解集.
解答:(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換
解:(I)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=
x1y1
x2y2
,則MM-1=
10
01
.又M=
12
31
,
所以
12
31
x1y1
x2y2
=
10
01
,所以x1+2x2=1,3x1+x2=0,y1+2y2=0,3y1+y2=1,
x1=-
1
5
,y1=
2
5
x2=
3
5
,y2=-
1
5

故所求的逆矩陣M-1=
-
1
5
2
5
3
5
-
1
5
.…(4分)
(II)設(shè)曲線C上任意一點P(x,y),它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點P'(x',y'),則
1a
b1
x
y
=
x′
y′
,即
x+ay=x′
bx+y=y′
,…(5分)
又點P'(x',y')在曲線C'上,所以x'2-2y'2=1,則(x+ay)2-2(bx+y)2=1,
即(1-2b2)x2+(2a-4b)xy+(a2-2)y2=1為曲線C的方程,
又已知曲線C的方程為x2+4xy+2y2=1,
比較系數(shù)可得
1-2b2=1
2a-4b=4
a2-2=2
,解得b=0,a=2,∴a+b=2.…(7分)
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
解:(I)圓C普通方程為(x-1)2+(y+1)2=4,
展開得x2+y2-2x+2y-2=0,…(2分)
化為極坐標方程為ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0.      …(4分)
(II)點Q的直角坐標為(2,-2),且點Q在圓C內(nèi),
因為|QC|=
2
,所以P,Q兩點距離的最小值為|PC|=2-
2
.    …(7分)
(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講
解:(I)f(x)=
-2x+1,(x≤-1)
3,(-1<x<2)
2x-1,(x≥2)
所以y=f(x)的最小值為3.…(4分)
(II) 由(I)可知,當x≤-1時,f(x)≥4,即-2x+1≥4,此時x≤-
3
2
;
當x≥2時,f(x)≥4,即2x-1≥4,此時x≥
5
2

因此不等式f(x)≥4的解集為A為{|x≤-
3
2
x≥
5
2
}.      …(7分)
點評:本題考查選修知識,考查矩陣與變換,考查坐標系與參數(shù)方程,考查不等式選講,綜合性強.
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X A B C D E
頻率 a 0.2 0.45 b c
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MP
=
PN
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2
3
2
3

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