如下圖,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m.

(1)試確定m,使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為；

(2)在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并證明你的結(jié)論.

解:(1)如下圖，連AC,設(shè)AC∩BD=O,AP與面BDD1B1交于點G,連OG.

    因為PC∥面BDD1B1,面BDD1B1∩面APC=OG,

    故OG∥PC,所以O(shè)G=.

    又AO⊥DB,AO⊥BB1,所以AO⊥面BDD1B1.

    故∠AGO即為AP與平面BDD1B1所成的角.

    在Rt△AOG中,tanAGO=,即m=.

    故當m=時,直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為.

(2)依題意,要在A1C1上找一點Q,使得D1Q⊥AP,

    可推測A1C1的中點O1即為所求的Q的點.

    因為D1O1⊥A1C1,D1O1⊥AA1,

    所以D1O1⊥面ACC1A1.

    又AP面ACC1A1,故D1O1⊥AP.

    從而D1O1在平面AD1P上的射影與AP垂直.

    所以存在定點Q滿足題意.

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