如圖，設E:+=1(a＞b＞0)的焦點為F1與F2，且P∈E,∠F1PF2=2θ.

求證：△PF1F2的面積S=b2tanθ.

剖析：有些圓錐曲線問題用定義去解決比較方便.如本題，設|PF1|=r1,|PF2|=r2,則S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2,問題即獲解決.

證明：設|PF1|=r1,|PF2|=r2,

    則S=r1r2sin2θ,又|F1F2|=2c,

    由余弦定理有

    (2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ),

    于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.

    所以r1r2=.

    這樣即有S=· sin2θ=b2=b2tanθ.

講評：涉及橢圓中焦半徑或過焦點弦問題，要綜合橢圓兩個定義，合理代換解題，此類問題較為常見.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1與F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ．
求證：△PF1F2的面積S=b2tanθ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•寧波二模）如圖，設拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，過準線l上一點M（-1，0）且斜率為k的直線l1交拋物線C于A，B兩點，線段AB的中點為P，直線PF交拋物線C于D，E兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若|MA|•|MB|=λ|FD|•|FE|，試寫出λ關于k的函數(shù)解析式，并求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在平面內，ABCD是AB=2，BC=
2
的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點，設直線l過點C且垂直于矩形ABCD所在平面，點F是直線l上的一個動點，且與點P位于平面ABCD的同側．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設直線PF與平面PAB所成的角為θ，若45°＜θ≤60°，求線段CF長的取值范圍．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學 來源：2006年高考第一輪復習數(shù)學：8.1 橢圓（解析版） 題型：解答題

如圖，設E：+=1（a＞b＞0）的焦點為F1與F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ．
求證：△PF1F2的面積S=b2tanθ．

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